Espacios vectoriales

 

1. Qué son los espacios vectoriales.

 

Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna llamada suma, y una operación externa llamada producto por un escalar, que satisface 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo se les conoce como escalares.

 

 

2. Enumere los 8 axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial.

 

Propiedad conmutativa: 

u + v = v + u

v + u = u + v

 

Propiedad asociativa:

(u + v) + w = u + (v + w)

 

Elemento neutro:

u + 0 = u

 

Elemento opuesto:

u + (-u) = 0

 

Propiedad asociativa:

a * (b * u) = (a * b) * u

 

Elemento neutro en el producto:

1 * u = u

 

Distributiva por la izquierda:

a * (u + v) = a * u + a * v

 

Distributiva por la derecha:

(a + b) * u = a * u + b * u
 

 

3. Qué es un subespacio vectorial.

 

Es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que el espacio vectorial original.

 

 

4. Enumere las tres propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio.

 

Para probar si H es o no es un subespacio de V, es suficiente verificar que:

 

El vector cero de V está en H.2

 

H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en H, la suma de u + v está en H.

 

H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.

 

5. Explique cuales son la dimensión y el rango de un subespacio y que es una base.

 

Base

Sea "V" un espacio vectorial y "A" un subespacio vectorial de "V".

 

A = (v1, v2, v3) decimos que A es una base generadora de V si se cumple que:

 

1. "A" debe ser un conjunto generador de "V" es decir todo elemento de "V" se puede escribir como una combinación lineal de los elementos de "A".

 

2. "A" es un conjunto linealmente independiente.

 

Dimensión

Después de hallar la base y determinar si es LI la cantidad de términos que nos da es el número de dimensión que tiene.

 

Rango

Es el número de vectores que son linealmente independientes. 

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