transformaciones lineales

 

1.    ¿Qué es una transformación lineal?

 

Es una función que transforma elementos de un espacio vectorial X, en elementos (vectores) de un espacio vectorial Y.

 

2. Cuáles son las condiciones para que exista una transformación lineal

 

Para que una exista una transformación           lineal se deben cumplir dos condiciones.

1.    f (x+y) = f(x) + f(y)

2.    f(kx) = k*f(v)

 

3.    Al menos cinco propiedades o teoremas de las transformaciones lineales

 

 

Propiedad 1

T (0_v) = 0_w

T (0_v) = T(0._v) = 0.T (v) = 0.w = 0_w

 

Propiedad 2

T (-v) = -T (v)

T (-v) = T (-1.v) = -1.T (v) = -T (v)

 

Propiedad 3

Consideremos r vectores del espacio vectorial V

v₁, v₂, v₃,...,v_r V

Tomemos una combinación lineal en el dominio

₁v₁ + ₂v₂ +,..., +_r,v_r

Donde _i R

F (₁v₁ + ₂v₂ +,..., +_r,v_r) = ₁F(v₁) + ₂F(v₂) +… + _rF(v_r)

 

 

 

Propiedad 4

Si B = {v₁, v₂,..., v_n} es una base del espacio vectorial V, existe una única transformación T: V → W, tal que w₁ = T(v₁), w₂ = T(v₂),..., w_n = T(v_n) con w₁, w₂,..., w_n ∈ w.

 

Propiedad 5

Sean B = {v₁, v₂,..., v_n} una base del espacio vectorial V y T: V → W y S: V −→ W dos transformaciones lineales.

 

T = S, si y solo si, S(v₁) = T(v₁), S(v₂) = T(v₂),..., S(v_n) = T(v_n).

4. Un ejemplo de una transformación lineal.

 

5. Cómo probar esa transformación lineal.